codeforces-#682-D

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十一月 16, 2020

D. Powerful Ksenia

  • 题意

给出一个长度为3<n<1e5的数组a

要求经过最多n次操作后所有元素相等

每次操作为：

选择(i,j,k) 将三个位置上的(ai,aj,ak)替换成 X=ai xor aj xor ak

若能在n次内将所有元素相等输出YES

并输出操作次数和每次操作的三个下标

若不能则输出NO

  • 题解

每次操作能将三个数变成相同的数 (a,b,c)->(x,x,x)

考虑到异或的性质 ：

  • 若存在两个数相同 则 a xor a =0
  • 且0 xor x =x 即任意数与0异或为0

那么对于n=奇数的情况

我可以将原数组 如：a b c d e f g h i

经过操作变为：a a b b c c x x x

除了后3位相同其余均是两两相同

那么之后可以根据异或性质操作：

a a b b (c c x) x x -> a a b b x x x x x

a a (b b x) x x x x -> a a x x x x x x x

(a a x) x x x x x x -> x x x x x x x x x

通过上述构造能在n-2次内将任意长度为奇数的数组a均能变为全部相同的数组

而n为偶数时则需要判断是否能将所有数变为相等

回忆操作过程

将(a,b,c) -> (x,x,x) 其中x= a xor b xor c

发现 a xor b xor c = x xor x xor x = x

所以 对于数组 a b c d 经过操作后 其异或和都不会发生变化

那么 若最初的数组其异或和 不为0那么无论如何操作都不会将所有元素变为相同解

(偶数个相同数异或为0)

若异或和为0 那么随便选出一个数ax

将剩余的奇数个数通过n为奇数情况的构造方式将这n-1个数变为一个相同的数Y

最后Y 一定等于 ax 因为最初数组的异或和为0

即：a1 xor a2 xor a3 …. xor an =0

那么把ax从左侧取出 则有 ：a1 xor a2 xor a3 …. =ax

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define Turnoff std::ios::sync_with_stdio(false)
//#define P pair<ll,ll>
const int Max=100+5;
const int Mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
 
//#define __DEBUG__
#ifdef __DEBUG__
#define DeBug(format, ...)                                                                            \
{                                                                                                   \
    fprintf(stdout, "[%s:%d]" format "",                                            \
    __FUNCTION__ , __LINE__, ##__VA_ARGS__);                                                        \
}
#else
#define DeBug(format,...)
#endif
 
ll mat[Max][Max];
int n,m;
int main(void){
    Turnoff;
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cin>>mat[i][j];
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if((i+j)%2){
                    if(mat[i][j]%2)mat[i][j]++;
                }
                else{
                    if(mat[i][j]%2==0)mat[i][j]++;
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cout<<mat[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
}