2020北京ICPC网络选拔赛Round1-J

2020北京ICPC网络选拔赛Round1-J

十月 25, 2020

Matrix Subtraction

  • 题意

给出一个一个n×m的矩阵

是否存在一种方案

使得多次从n×m矩阵中选中某个a×b的矩阵并将所有元素-1后

将原矩阵变为全0矩阵

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//input
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1 2
1 2
2 3 1 2
1 2 1
1 2 1
//output
QAQ
^_^

For the second case, one possible scheme is to choose (1, 1) - (1, 2), (1, 2) - (1, 3), (2, 1) - (2, 2), (2, 2) - (2, 3) respectively.

  • 题解

参考博客

发现左上角的元素(M(1,1) )只能被(1,1)到(a,b)的矩阵消耗

所以(1,1)到(a,b)的矩阵被选择的次数是确定的

同理在经过(1,1)到(a,b)的矩阵处理后得到的新n×m矩阵

可以从(M(1,2) )求出(1,2)到(a,b+1)的矩阵需要被用几次

记C(i,j)表示(i,j)到(i+a-1,j+b-1)的子矩阵需要被用多少次

可得 $C_{i,j}=M_{i,j}-∑{u=0}^{a-1}∑{v=0}^{b-1}[u!=0 || v!=0] C_{i-u,j-v}$

利用二位前缀和+二维差分就可以快速求出

  • 如何将原矩阵转化差分矩阵？

    设原矩阵为a(i,j) ,b为a的差分矩阵

    在二维矩阵中，前缀和公式为s(i,j) = a(i,j) + s(i,j - 1) + s(i - 1,j) - s(i - 1,j - 1)

    故a(i,j) = b(i,j) + a(i,j - 1) + a(i - 1,j) - a(i - 1,j - 1);

    交换一下位置得b(i,j) = a(i,j) + a(i - 1,j - 1) - a(i,j - 1) - a(i - 1,j)

于是只要判断是否能保证$C_{i,j}$非负且原矩阵是否恰好全变为0

整体复杂度$Onm$

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///std 二位前缀+差分
#include <bits/stdc++.h>
#include <time.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define Turnoff std::ios::sync_with_stdio(false)
#define P pair<ll,ll>
const int Max=2e3+5;
const int Mod=998244353;
const int inf=0x3f3f3f3f;
 
ll mat[Max][Max];
ll Cmat[Max][Max];
ll C[Max][Max];
int n,m,a,b;
int main(){
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m>>a>>b;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cin>>mat[i][j];
                C[i][j]=0,Cmat[i][j]=0;
            }
        }
        bool flag=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                C[i][j]+=C[i-1][j];
                C[i][j]+=C[i][j-1];
                C[i][j]-=C[i-1][j-1];
                mat[i][j]-=C[i][j];
                if(mat[i][j]<0)flag=1;
                else if(i+a-1>n||j+b-1>m){
                    if(mat[i][j])flag=1;
                }
                C[i][j]+=mat[i][j];
                C[i][j+b]-=mat[i][j];
                C[i+a][j]-=mat[i][j];
                C[i+a][j+b]+=mat[i][j];
            }
        }
        if(flag)cout<<"QAQ"<<endl;
        else cout<<"^_^"<<endl;
    }
}

下面是自己的代码(wa)只使用了二维前缀和

暂时不知道哪里出问题了

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#include <bits/stdc++.h>
#include <time.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define Turnoff std::ios::sync_with_stdio(false)
#define P pair<ll,ll>
const int Max=1e3+5;
const int Mod=998244353;
const int inf=0x3f3f3f3f;

ll mat[Max][Max];
ll Cmat[Max][Max];
ll C[Max][Max];
int n,m,a,b;
int main(){
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m>>a>>b;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++)cin>>mat[i][j];
        }
        bool flag=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                int X=max(0,i-a),Y=max(0,j-b);
                ll temp=Cmat[i-1][j]+Cmat[i][j-1]-Cmat[i-1][j-1];
                temp-=Cmat[X][j];temp-=Cmat[i][Y];
                temp+=Cmat[X][Y];
                
                if(mat[i][j]-temp<0)flag=1;
                if(i+a-1>n||j+b-1>m){
                    if(mat[i][j]-temp)flag=1;
                    continue;
                }
                C[i][j]=mat[i][j]-temp;
                Cmat[i][j]=C[i][j]+Cmat[i-1][j]+Cmat[i][j-1]-Cmat[i-1][j-1];
            }
        }
        if(flag)cout<<"QAQ"<<endl;
        else cout<<"^_^"<<endl;
    }

}